matriks eselon baris tereduksi
Aljabar Linear »
Sistem Kemiripan Linear
›Matriks Eselon Lajur dan Eselon Baris Tereduksi
Sistem Persamaan Linear
Matriks Eselon Baris dan Eselon Derek Tereduksi
Satu prosedur buat mereduksi matriks menjadi rangka eselon derek tereduksi dinamakan
penyisihan Gauss-Jordan. Padahal, prosedur buat mereduksi matriks sampai menjadi lembaga eselon baris dinamakan
peminggiran Gauss.
Oleh
Tju Ji Long
· Statistisi
Pada artikel ini kita akan mempelajari satu prosedur nan sistematik bakal memecahkan sistem persamaan linear. Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi
matriks yang diperbesar
(augmented matrix) menjadi bentuk yang patut terbelakang sehingga sistem persamaan tersebut bisa kita pecahkan dengan mudah.
Internal bahasa lain, jika kita mempunyai sistem persamaan linear (SPL), katakanlah sistem persamaan linear dengan tiga laur (x, y, dan z), maka untuk mencari solusi bersumber SPL tersebut atau menentukan nilai x, y, z; kita dapat cak bagi SPL tersebut dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) .
Kemudian matriks tersebut direduksi menjadi bagan eselon ririt tereduksi. Dari matriks eselon baris tereduksi nan diperoleh, kita bisa langsung mendapatkan nilai x, y, dan z, yang ialah solusi mulai sejak sistem persamaan linear tersebut.
Perhatikan model matriks diperbesar berikut ini yang mutakadim dilakukan
operasi-operasi jejer dasar
sehingga bakir dalam bentuk eselon jejer tereduksi (reduced row-echelon form)
Meski berbentuk sama dengan ini, maka matriks tersebut harus punya sifat-sifat berikut.
- Jika
jajar internal matriks
tidak terdiri seluruhnya semenjak kosong, maka bilangan bukan nihil pertama privat deret tersebut ialah 1. Kita menyebutkan ini sebagai
1 utama. - Jika terletak leret yang seluruh lema atau elemennya terdiri dari nol, maka semua baris dengan elemen-elemennya nan berupa nol tersebut dikelompokkan bersama-sejajar di radiks matriks.
- Lakukan dua baris berurutan yang seluruhnya elemennya tidak terdiri dari nol, maka
1 utama
dalam lajur nan bertambah rendah diletakkan lebih lanjut ke kanan dari
1 utama
internal baris yang lebih janjang. - Masing-masing kolom yang mengandung
1 utama
mempunyai atom nol di tempat lain.
Sebuah matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3, dikatakan berlambak intern gambar eselon saf (row-echelon form), sedangkan matriks yang punya semua sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan subur internal rangka eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form).
Paradigma 1: Bentuk Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi
Matriks-matriks berikut bernas n domestik kerangka eselon baris tereduksi.
Matriks-matriks berikut berada internal bentuk eselon baris, tapi bukan privat bentuk eselon baris tereduksi.
Pahamilah perbedaan antara matriks yang mampu dalam rancangan eselon baris dan eselon baris tereduksi pada Model 1 di atas. Dari contoh tersebut, ia pasti bisa cekut deduksi bahwa matriks dalam tulang beragangan eselon leret harus mempunyai nol di pangkal setiap
1 utama. Sedangkan matriks yang berada privat bentuk eselon derek tereduksi harus mempunyai nol di atas dan di dasar masing-masing
1 utama.
Sekiranya matriks nan diperbesar bagi sistem paralelisme linear dilakukan dasar-dasar operasi baris hingga menjadi gambar eselon derek tereduksi, maka himpunan pemisahan kerjakan sistem tersebut dapat diperoleh dengan mudah. Paradigma berikut ini akan menunjukkan hal tersebut.
Teoretis 2: Solusi Unik
Misalkan bahwa matriks nan diperbesar (Augmented matrix) untuk sistem kemiripan linear dengan laur lain diketahui \(x_1, x_2, x_3, x_4\) telah direduksi melintasi operasi baris menjadi gambar eselon baris tereduksi, yaitu
Matriks ini berada privat rang eselon baris tereduksi dan bersesuaian dengan persamaan
Maka dari itu karena itu, sistem paralelisme ini mempunyai solusi singularis, yaitu:
Dari Hipotetis 2 di atas, kita meluluk bagaimana mudahnya memecahkan sistem persamaan linear jika matriks yang diperbesar tersebut mampu dalam bentuk eselon saf tereduksi. Sekarang kita akan memberikan prosedur anju demi langkah, nan dapat digunakan untuk mereduksi sebarang matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Misalkan matriks yang akan direduksi yaitu:
Langkah 1.
Letakkanlah kolom paling kecil kiri (garis vertikal) nan seluruhnya lain terdiri dari nol.
Langkah 2.
Pertukarkanlah baris atas dengan larik tidak, jika terbiasa, kerjakan membawa entri tak nol ke atas kolom yang didapatkan kerumahtanggaan anju 1.
Persiapan 3.
Jika lema yang masa ini ada di atas kolom nan didapatkan dalam Langkah 1 ialah a, kalikanlah leret pertama tersebut dengan 1/a kerjakan memperoleh 1 utama.
Langkah 4.
Tambahkanlah kelipatan yang sesuai semenjak jejer atas plong banjar-baris nan di bawah sehingga semua entri di bawah 1 terdepan menjadi zero.
Persiapan 5.
Waktu ini tutuplah jajar atas privat matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan Awalan 1 yang diterapkan plong submatriks yang masih sisa. Teruskanlah dengan cara ini sampai lema matriks tersebut mampu privat bentuk eselon banjar.
Lema matriks tersebut sekarang rani dalam tulangtulangan eselon saf. Kerjakan mengejar rajah eselon baris tereduksi maka kita memerlukan langkah komplemen berikut.
Awalan 6.
Dengan memulai mulai sejak baris tak nol keladak dan bekerja ke arah atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai berbunga setiap banjar pada saf-baris di atas cak bagi mendapatkan nol di atas 1 utama.
Matriks terakhir mutakadim bakir intern susuk eselon saf tereduksi.
Prosedur di atas yang mereduksi matriks menjadi rajah eselon leret tereduksi dinamakan
eliminasi Gauss-Jordan. Jika kita hanya menggunakan lima langkah pertama, prosedur bakal menghasilkan tulangtulangan eselon baris tersebut dinamakan
eliminasi Gauss.
Perigi:
Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, tolong
klik tombol suka
di dasar ini dan
tuliskan komentar Ia
dengan bahasa yang sopan.
Source: https://jagostat.com/aljabar-linear/bentuk-eselon-baris-dan-eselon-baris-tereduksi
